Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor do parâmetro t dado.
Passo 1
O enunciado dá a curva de espaço
e pede o vetor tangente unitário
no ponto correspondente ao parâmetro
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função posição tem três componentes:
, e (ou seja, ). - O valor do parâmetro onde queremos
é . - Precisamos calcular derivadas das componentes e normalizar o vetor derivada.
Passo 2
Definição e ideia prática para a prova.
- O vetor tangente unitário
é a direção unitária da velocidade da curva. Formalmente:
onde
é a derivada componente a componente de
(o vetor velocidade) e
é o comprimento (norma) desse vetor.
Explicando as derivadas que vamos usar (lembrete prático):
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Agora calculamos
componente a componente:
Passo 3
Avaliar
em
.
Substituindo
em cada componente:
Portanto
Passo 4
Calcular a norma de
.
A norma de um vetor
é
. Aplicando:
Podemos reescrever
se for mais conveniente.
Passo 5
Formar o vetor tangente unitário dividindo
pela norma e simplificar.
Começando pela divisão:
Usando
ou
, obtemos
Como verificação rápida, aproximando numericamente
dá componentes aproximadamente
, que tem norma
.