Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com valor do parâmetro t dado.
\mathbf{r}(t)=\left\langle\sqrt{t}, t-t^{2}, \operatorname{tg}^{-1} t\right\rangle, \quad t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva de espaço
\mathbf{r}(t)=\left\langle \sqrt{t},\; t-t^{2},\; \operatorname{tg}^{-1}t\right\rangle
e pede o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto correspondente ao parâmetro t=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função posição tem três componentes: \sqrt{t}, t-t^{2} e \operatorname{tg}^{-1}t (ou seja, \arctan t).
  • O valor do parâmetro onde queremos \mathbf{T}(t) é t=1.
  • Precisamos calcular derivadas das componentes e normalizar o vetor derivada.

Passo 2

Definição e ideia prática para a prova.
  • O vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) é a direção unitária da velocidade da curva. Formalmente:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente de \mathbf{r}(t) (o vetor velocidade) e \|\mathbf{r}'(t)\| é o comprimento (norma) desse vetor.
Explicando as derivadas que vamos usar (lembrete prático):
  • Se f(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}, então f'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.
  • Se g(t)=t-t^{2}, então g'(t)=1-2t.
  • Se h(t)=\operatorname{tg}^{-1}t=\arctan t, então h'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
Agora calculamos \mathbf{r}'(t) componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{1}{2\sqrt{t}},\; 1-2t,\; \frac{1}{1+t^{2}}\right\rangle.

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=1.
Substituindo t=1 em cada componente:
\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2},\qquad 1-2\cdot1= -1,\qquad \frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}.
Portanto
\mathbf{r}'(1)=\left\langle \frac{1}{2},\; -1,\; \frac{1}{2}\right\rangle.

Passo 4

Calcular a norma de \mathbf{r}'(1).
A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aplicando:
\|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+(-1)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}} =\sqrt{\frac{3}{2}}.
Podemos reescrever \sqrt{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} se for mais conveniente.

Passo 5

Formar o vetor tangente unitário dividindo \mathbf{r}'(1) pela norma e simplificar.
Começando pela divisão:
\mathbf{T}(1)=\frac{\mathbf{r}'(1)}{\|\mathbf{r}'(1)\|} =\frac{\left\langle \tfrac{1}{2},-1,\tfrac{1}{2}\right\rangle}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}} =\left\langle \frac{\tfrac{1}{2}}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}},\; \frac{-1}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}},\; \frac{\tfrac{1}{2}}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}}\right\rangle.
Usando \sqrt{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} ou \dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{3}{2}}}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}, obtemos
\mathbf{T}(1)=\left\langle \frac{\sqrt{6}}{6},\; -\frac{\sqrt{6}}{3},\; \frac{\sqrt{6}}{6}\right\rangle.
Como verificação rápida, aproximando numericamente \sqrt{6}\approx2{,}449 dá componentes aproximadamente \langle0{,}4082,\,-0{,}8165,\;0{,}4082\rangle, que tem norma 1.

Resposta

\mathbf{T}(1)=\left\langle \dfrac{\sqrt{6}}{6},\; -\dfrac{\sqrt{6}}{3},\; \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right\rangle

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