Encontre a derivada da função.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - O limite inferior é
. - O limite superior é
. - A pergunta clara: calcular
.
Passo 2
Ideia principal (ferramenta que vamos usar): a regra que combina o Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia. Primeiro lembrete útil: se definirmos uma primitiva
para alguma constante
, então o Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que
Isto significa que derivar uma integral cujo limite superior é uma variável devolve o integrando avaliado nesse limite.
Passo 3
Expressar
em termos de uma primitiva
. Tome
e seja
(pode ser qualquer constante de referência). Então
Isto transforma o problema numa diferença de composições de
com funções de
.
Passo 4
Derivar usando a regra da cadeia. Aplicando a derivada em
em cada termo:
Pelo passo anterior
. Logo
Passo 5
Substituir
e as derivadas dos limites. Temos
e
. Portanto
Passo 6
Pequena simplificação opcional:
. Podemos reescrever o termo correspondente como
. Assim uma forma mais compacta é
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia: se
, então pela mesma regra
. É exatamente a combinação do Teorema Fundamental com a regra da cadeia — mesmo padrão que usamos acima.