Encontre a derivada da função.
y=\int_{2 x}^{3 x+1} \operatorname{sen}\left(t^{4}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
y=\int_{2x}^{3x+1}\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right).
  • O limite inferior é a(x)=2x.
  • O limite superior é b(x)=3x+1.
  • A pergunta clara: calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Ideia principal (ferramenta que vamos usar): a regra que combina o Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia. Primeiro lembrete útil: se definirmos uma primitiva
F(u)=\int_{c}^{u} f(t)\,dt
para alguma constante c, então o Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que
F'(u)=f(u).
Isto significa que derivar uma integral cujo limite superior é uma variável devolve o integrando avaliado nesse limite.

Passo 3

Expressar y em termos de uma primitiva F. Tome f(t)=\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right) e seja F(u)=\int_{0}^{u} f(t)\,dt (pode ser qualquer constante de referência). Então
y=F\big(b(x)\big)-F\big(a(x)\big)=F\big(3x+1\big)-F\big(2x\big).
Isto transforma o problema numa diferença de composições de F com funções de x.

Passo 4

Derivar usando a regra da cadeia. Aplicando a derivada em x em cada termo:
\frac{d}{dx}F\big(3x+1\big)=F'\big(3x+1\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(3x+1\big),
\frac{d}{dx}F\big(2x\big)=F'\big(2x\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(2x\big).
Pelo passo anterior F'(u)=f(u). Logo
y' = f\big(3x+1\big)\cdot 3 \;-\; f\big(2x\big)\cdot 2.

Passo 5

Substituir f(t)=\operatorname{sen}\!\left(t^{4}\right) e as derivadas dos limites. Temos \dfrac{d}{dx}(3x+1)=3 e \dfrac{d}{dx}(2x)=2. Portanto
y' = 3\,\operatorname{sen}\!\big((3x+1)^{4}\big)\;-\;2\,\operatorname{sen}\!\big((2x)^{4}\big).

Passo 6

Pequena simplificação opcional: (2x)^{4}=16x^{4}. Podemos reescrever o termo correspondente como \operatorname{sen}\!\big(16x^{4}\big). Assim uma forma mais compacta é
y' = 3\,\operatorname{sen}\!\big((3x+1)^{4}\big)\;-\;2\,\operatorname{sen}\!\big(16x^{4}\big).

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia: se z(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sin t\,dt, então pela mesma regra z'(x)=\sin(x^{2})\cdot 2x. É exatamente a combinação do Teorema Fundamental com a regra da cadeia — mesmo padrão que usamos acima.

Resposta

y'=3\,\operatorname{sen}\!\big((3x+1)^{4}\big)-2\,\operatorname{sen}\!\big(16x^{4}\big)

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