Calcule as integrais usando substituição trigonométrica apropriada.
integral2^4 1raiz9 x-x^2 d x

Passo 1

Estamos resolvendo a integral definida integral2^41raiz9x - x^2,dx. O conteúdo é substituição trigonométrica para expressões do tipo raiza^2 - u^2, e vamos precisar completar o quadrado em 9x - x^2 e usar uma substituição do tipo x - tfrac92 = tfrac92sintheta.

Passo 2

Começamos completando o quadrado: 9x - x^2 = 814 - l(x - tfrac92r)^2. Assim aparece uma expressão raiztfrac814 - (x - tfrac92)^2, que é 92raiz1 - l(x - 9/29/2r)^2.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica x - tfrac92 = tfrac92sintheta. Então dx = tfrac92costheta,dtheta e raiz9x - x^2 = tfrac92costheta. O integrando vira dxraiz9x-x^2 = tfrac92costheta,dthetatfrac92costheta = dtheta.

Passo 4

Precisamos ajustar os limites de integração. Quando x=2, temos sintheta1 = 2 - 9/29/2 = -tfrac59, logo theta1 = arcsinl(-tfrac59r). Quando x=4, sintheta2 = 4 - 9/29/2 = -tfrac19, logo theta2 = arcsinl(-tfrac19r).

Passo 5

Assim a integral definida fica integraltheta1^theta2 dtheta = theta2 - theta1 = arcsinl(-tfrac19r) - arcsinl(-tfrac59r). Usando arcsin(-u) = -arcsin(u), obtemos arcsin(tfrac59) - arcsin(tfrac19).

Resposta

arcsinl(tfrac59r) - arcsinl(tfrac19r)

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