Dada a equação do plano
, estude e esboce os gráficos quando:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar e esboçar o plano dado por 3x+4y+2z+0=0. Isso é geometria analítica de planos em
R^3. Vamos precisar do vetor normal ao plano, de suas interseções com eixos e planos coordenados e, por fim, de um desenho mostrando a posição do plano no sistema de coordenadas.
R^3. Vamos precisar do vetor normal ao plano, de suas interseções com eixos e planos coordenados e, por fim, de um desenho mostrando a posição do plano no sistema de coordenadas.
Passo 2
Na teoria dos planos, a forma ax+by+cz+d=0 tem vetor normal
→n=(a,b,c). Aqui temos:
→n=(a,b,c). Aqui temos:
Esse vetor define a direção perpendicular ao plano e orienta seu desenho.
Passo 3
Para entender como o plano “corta” o espaço, calculamos: • Interseções com os eixos: basta anular duas variáveis de cada vez. Se y=z=0 em 3x+4y+2z=0, então 3x=0 ⇒ x=0. O mesmo dá y=0 e z=0. Logo, o plano só intercepta cada eixo na origem. • Interseção com os planos coordenados: – No plano xy (z=0):
uma reta que passa pela origem e inclinação –3/4 no xy. – No plano xz (y=0):
reta pela origem com inclinação –3/2 no xz. – No plano yz (x=0):
reta pela origem com inclinação –2 no yz.
Passo 4
Com essas informações, esboçamos o plano em um sistema de eixos 3D. Marcamos o vetor normal
→n=(3,4,2) partindo da origem e desenhamos as três retas de interseção com os planos coordenados. O plano passa pela origem e “inclina” conforme a direção de →n.
→n=(3,4,2) partindo da origem e desenhamos as três retas de interseção com os planos coordenados. O plano passa pela origem e “inclina” conforme a direção de →n.
Resposta
O plano é 3x+4y+2z=0, passa pela origem e tem vetor normal →n=(3,4,2). Suas interseções com os planos coordenados são as retas 3x+4y=0 (xy), 3x+2z=0 (xz) e 4y+2z=0 (yz). O esboço mostra o plano inclinado no espaço cortando cada plano coordenado nessas retas.