Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
\int \frac{\ln \left(x^{2}\right)}{x} d x;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}\,dx
usando a técnica de substituição em integrais. Vamos aproveitar propriedades de logaritmo e depois aplicar a substituição clássica u-sub.

Passo 2

Usamos a identidade
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln\bigl|x\bigr|
para reescrever o integrando:
\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x} =\frac{2\ln\bigl|x\bigr|}{x}.
Logo a integral fica
\int \frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}\,dx =2\int \frac{\ln\bigl|x\bigr|}{x}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \ln\bigl|x\bigr| \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Assim
2\int \frac{\ln\bigl|x\bigr|}{x}\,dx =2\int u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
2\int u\,du =2\cdot\frac{u^{2}}{2} =u^{2}.
Voltando à variável x, temos
u^{2}=\bigl(\ln\bigl|x\bigr|\bigr)^{2}.

Resposta

\bigl(\ln\bigl|x\bigr|\bigr)^{2}+C

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