Calcule as integrais usando a tecnica de substituição:
\int \frac{x d x}{\sqrt[5]{x^{2}-1}}\;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x\,dx}{\sqrt[5]{x^{2}-1}}
usando a técnica de substituição. Vamos escolher uma mudança de variável que transforme o radicando x^2-1 em uma potência simples e reescrever x\,dx em função de du.

Passo 2

Definimos
u = x^2 - 1.
Diferenciando,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
\int \frac{x\,dx}{\sqrt[5]{x^{2}-1}} = \int \frac{\frac12\,du}{u^{1/5}} = \frac12 \int u^{-1/5}\,du.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int u^{-1/5}\,du, aplicamos a fórmula
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n=-\tfrac15, logo
\frac12\int u^{-1/5}\,du = \frac12 \cdot \frac{u^{(-1/5)+1}}{(-1/5)+1} + C = \frac12 \cdot \frac{u^{4/5}}{4/5} + C = \frac{5}{8}\,u^{4/5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^2-1:
\frac{5}{8}\,u^{4/5} + C = \frac{5}{8}\,(x^2-1)^{4/5} + C.

Resposta

\int \frac{x\,dx}{\sqrt[5]{x^{2}-1}} = \frac{5}{8}\,(x^2-1)^{4/5} + C.

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