(a) Mostrar que
.
(b) Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
(b) Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que
(a) mostrar que
e
(b) usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(b) usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
supondo as condições iniciais
e
.
Para isso vamos usar as propriedades de linearidade, da transformada de derivada e do fator dentro da transformada de Laplace, além de inverter a transformada.
Para isso vamos usar as propriedades de linearidade, da transformada de derivada e do fator
Passo 2
Calcular
.
Pela tabela de transformadas, já sabemos que
Pela tabela de transformadas, já sabemos que
Passo 3
Calcular
.
Usamos a propriedade
Usamos a propriedade
Como
, temos
Passo 4
Combinar resultados para
.
Pela linearidade,
Pela linearidade,
Passo 5
Aplicar Laplace em
com
.
Tomando transformada em ambos os lados e usando e
, obtemos
Tomando transformada em ambos os lados e usando
Como
, isso vira
logo
Passo 6
Inverter a transformada para achar
.
Observamos que, de fato,
Observamos que, de fato,
Logo, pela unicidade da transformada de Laplace,
Resposta
(a)
(b)
(b)