Calcule as integrais utilizando coordenadas cilíndricas
, onde
é a metade do cone circular reto de vértice
e base
compreendido no lado direito do plano
.
R.:
R.:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral tripla
sobre a metade de um cone reto de vértice
e base
, cortado pelo plano
. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas, então vamos usar a transformação
,
,
, e o Jacobiano
.
Passo 2
Na descrição do cone, a base está no plano
com raio
e o vértice em
. Para uma fatia cilíndrica, temos
como queremos metade do cone, o ângulo varia em um intervalo de tamanho
, por exemplo
.
Passo 3
Convertendo a integral, o integrando fica
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Em seguida, a integral em
:
e usando a mudança
obtém-se
Passo 6
Por fim, integramos em
de 0 a
e combinamos tudo: