Calcule as integrais utilizando coordenadas cilíndricas
integral triplaS z raizx^2+y^2 d V, onde S é a metade do cone circular reto de vértice (0,0, h) e base x^2+y^2 <= a^2 compreendido no lado direito do plano y=0.
R.: pi a^3 h^260

Passo 1

O problema pede para calcular a integral tripla integral triplaS zraizx^2+y^2,dV sobre a metade de um cone reto de vértice (0,0,h) e base x^2+y^2<= a^2, cortado pelo plano y=0. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas, então vamos usar a transformação x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, e o Jacobiano dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Na descrição do cone, a base está no plano z=0 com raio a e o vértice em z=h. Para uma fatia cilíndrica, temos
0<= z<= h,
0<= r<= R(z)=ahl(h-zr),
theta0<=theta<=theta1,
como queremos metade do cone, o ângulo varia em um intervalo de tamanho pi, por exemplo 0<=theta<=pi.

Passo 3

Convertendo a integral, o integrando fica
zraizx^2+y^2,dV = z,rcdot r,dr,dtheta,dz = z,r^2,dr,dtheta,dz

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^R(z)z,r^2,dr = zR(z)^33 = z13l(ah(h-z)r)^3 = a^33h^3z(h-z)^3

Passo 5

Em seguida, a integral em z:
integral0^h a^33h^3z(h-z)^3,dz = a^33h^3integral0^h z(h-z)^3,dz
e usando a mudança u=h-z obtém-se
integral0^h z(h-z)^3,dz = h^520

Passo 6

Por fim, integramos em theta de 0 a pi e combinamos tudo:
l(integral0^pi dthetar)a^33h^3h^520 = pia^3h^260

Resposta

pi a^3 h^260

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