Verifique que a função dada é uma solução. ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y^prime prime+2 y=4(x+1)^2, y=5 e^-2 x+2 x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y=5e^-2x+2x^2+2x+1 satisfaz a equação diferencial y''+2y=4(x+1)^2. O conteúdo é substituição em equação diferencial, e vamos precisar calcular y' e y'' e inserir na equação.

Passo 2

Primeiro calculamos a primeira derivada. Derivando termo a termo, temos:
y=5e^-2x+2x^2+2x+1
$$y’=\frac{d}{dx}(5e{-2x})+\frac{d}{dx}(2x2)+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(1)
=5(-2)e^{-2x}+4x+2= -10e^{-2x}+4x+2$$

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada:
y''=ddx(-10e^-2x+4x+2)= -10(-2)e^-2x+4=20e^-2x+4

Passo 4

Substituímos y e y'' em y''+2y:
y''+2y=(20e^-2x+4)+2(5e^-2x+2x^2+2x+1)
Expandindo:
y''+2y=20e^-2x+4+10e^-2x+4x^2+4x+2=30e^-2x+4x^2+4x+6

Passo 5

O lado direito da equação original é
4(x+1)^2=4(x^2+2x+1)=4x^2+8x+4

Passo 6

Comparando as duas expressões, vemos que
y''+2y=30e^-2x+4x^2+4x+6neq4x^2+8x+4=4(x+1)^2

Passo 7

Logo, a função dada não satisfaz a equação diferencial proposta.

Resposta

A função não é solução da equação diferencial, pois ao substituir obtém-se y''+2y=30e^-2x+4x^2+4x+6neq4(x+1)^2.

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