Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral 2+x^4x^3+9 x d x
R: x^22+210(x)9-83 log (x^2+9)18+C

Passo 1

A integral a calcular é integral 2 + x^4x^3 + 9x ,dx. O conteúdo aqui envolve frações parciais, mas como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), vamos primeiro usar divisão de polinômios para simplificar a integral.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^4 + 2 por x^3 + 9x: o quociente é x e o resto é -9x^2 + 2. Logo,
x^4 + 2x^3 + 9x = x + -9x^2 + 2x(x^2 + 9)

Passo 3

Agora aplicamos frações parciais em -9x^2 + 2x(x^2 + 9). Suponha
-9x^2 + 2x(x^2 + 9) = Ax + Bx + Cx^2 + 9

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+9) obtém-se
-9x^2 + 2 = A(x^2 + 9) + (Bx + C)x = (A + B)x^2 + Cx + 9A

Passo 5

Comparando coeficientes em cada potência de x:
• Coeficiente de x^2: A + B = -9;
• Coeficiente de x: C = 0;
• Termo constante: 9A = 2 A = tfrac29.
Então B = -9 - A = -9 - tfrac29 = -tfrac839 e C = 0.

Passo 6

Logo
-9x^2 + 2x(x^2 + 9) = 2/9x - 83/9,xx^2 + 9

Passo 7

Reescrevendo o integrando:
2 + x^4x^3 + 9x = x + 291x - 839xx^2 + 9

Passo 8

Agora integramos termo a termo:
  1. integral x,dx = x^22
  2. integral 291x,dx = 29ln|x|
  3. integral l(-839r)xx^2+9,dx = -839cdot12ln(x^2+9) = -8318ln(x^2+9)

Resposta

x^22 + 29ln|x| - 8318ln(x^2+9) + C

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