Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral2^4 4x^2+5 x+4 d x
R: 0.297

Passo 1

Estamos com a integral definida integral2^4 4x^2+5x+4,dx. O assunto principal aqui é a decomposição em frações parciais para integrar uma função racional.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador e montar a decomposição. Primeiro fatoramos:
x^2+5x+4 = (x+1)(x+4)
Depois escrevemos
4(x+1)(x+4) = Ax+1 + Bx+4,
e multiplicamos por (x+1)(x+4) para obter 4 = A(x+4) + B(x+1).

Passo 3

Para encontrar A e B, basta escolher valores convenientes de x. Se x=-1, vem 4 = Acdot3 e então A = tfrac43. Se x=-4, vem 4 = Bcdot(-3) e então B = -tfrac43.

Passo 4

Com esses valores, reescrevemos a integral como soma de termos simples e integramos:
integral 4x^2+5x+4,dx = 43integral dxx+1 - 43integral dxx+4 = 43ln|x+1| - 43ln|x+4| + C

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva no intervalo de 2 a 4 e simplificamos:
l[tfrac43ln|x+1| - tfrac43ln|x+4|r]2^4 = 43ln54
Numericamente, isso dá aproximadamente 0,297.

Resposta

0,297

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