Encontre a área de toda região interna à curva r=cos 2 theta (dada em coordenadas polares).
A área está no intervalo [pi / 2,3 pi / 4[

Passo 1

O enunciado pede a área interna à curva em coordenadas polares r=cos2θ. Vamos usar a fórmula de área em polares e a identidade trigonométrica para resolver.

Passo 2

Montamos a integral usando a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integral0^2pi r^2 , dtheta = 12 integral0^2pi cos^2(2theta) , dtheta

Passo 3

Para simplificar a integral, aplicamos a identidade cos^2x = tfrac1+cos2x2. Assim:
cos^2(2theta) = 1 + cos(4theta)2,
e a integral vira
integral0^2pi cos^2(2theta) , dtheta = 12 integral0^2pi [1 + cos(4theta)] , dtheta

Passo 4

Calculamos separadamente:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi,
integral0^2pi cos(4theta) , dtheta = 0
Logo
integral0^2pi cos^2(2theta) , dtheta = 12 (2pi + 0) = pi

Passo 5

Finalmente, voltando ao fator tfrac12 da fórmula de área, obtemos
A = 12 times pi = pi2

Resposta

pi/2

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