Calcule as integrais utilizando integração por partes e fraçöes parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, vamos usar duas técnicas importantes de cálculo: integração por partes e frações parciais. Essas ferramentas nos ajudam a lidar com integrais que não são diretas, quebrando-as em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Vamos fatorar essa expressão para facilitar a divisão:
Isso nos permite reescrever a fração da integral como:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum
, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, podemos escolher valores específicos de
que simplificam a equação.
Primeiro, vamos deixar
:
Em seguida, deixamos
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a fração original como:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
As integrais de
são bem conhecidas e resultam em logaritmos naturais. Então, temos:
Resposta
A integral
é igual a: