Calcule as integrais utilizando integração por partes e fraçöes parciais.
integral x-5x^2+x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x-5x^2+x-2 , dx. Aqui, vamos usar duas técnicas importantes de cálculo: integração por partes e frações parciais. Essas ferramentas nos ajudam a lidar com integrais que não são diretas, quebrando-as em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2 + x - 2. Vamos fatorar essa expressão para facilitar a divisão:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Isso nos permite reescrever a fração da integral como:
x - 5(x + 2)(x - 1)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
x - 5(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum (x + 2)(x - 1), obtemos:
x - 5 = A(x - 1) + B(x + 2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, podemos escolher valores específicos de x que simplificam a equação.
Primeiro, vamos deixar x = 1:
1 - 5 = A(1 - 1) + B(1 + 2) -4 = 0 + 3B B = -43
Em seguida, deixamos x = -2:
-2 - 5 = A(-2 - 1) + B(-2 + 2) -7 = -3A + 0 A = 73

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, podemos escrever a fração original como:
x - 5(x + 2)(x - 1) = 73x + 2 + -43x - 1
Simplificando:
73(x + 2) - 43(x - 1)

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 73(x + 2) - 43(x - 1) ) dx = 73 integral 1x + 2 dx - 43 integral 1x - 1 dx

Passo 8

As integrais de 1x + a são bem conhecidas e resultam em logaritmos naturais. Então, temos:
73 ln|x + 2| - 43 ln|x - 1| + C

Resposta

A integral integral x-5x^2+x-2 , dx é igual a:
73 ln|x + 2| - 43 ln|x - 1| + C

Exercícios relacionados