Usando o mesmo método para ângulos pertencentes ao intervalo
, mostre que
. Em seguida, conclua que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando o mesmo método de encadeamento de desigualdades (teorema do sanduíche) aplicado para ângulos em
, e em seguida concluir que
. Vamos precisar da desigualdade trigonométrica
Para
vale:
e do teorema do sanduíche.
Passo 2
Para
definimos
, de modo que
. Substituindo na desigualdade acima e usando
obtemos
Multiplicando toda a desigualdade por
e invertendo os sinais obtemos
Passo 3
À medida que
, temos
e também
$$
\alpha\cos\alpha\to0,\quadpois\cos\alpha\to1.$$
Logo, os limites dos dois termos extremos são zero.
Passo 4
Pelo teorema do sanduíche, como
e ambos os limites dos extremos tendem a zero quando
, segue que
Passo 5
Sabendo ainda que
(obtido anteriormente para ângulos em
), concluímos que o limite bilateral existe e é
Resposta
0