Usando o mesmo método para ângulos pertencentes ao intervalo (-pi / 2,0), mostre que lim alpha 0^- sin alpha=0. Em seguida, conclua que lim alpha 0 sin alpha=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limalphato0^-sinalpha=0 usando o mesmo método de encadeamento de desigualdades (teorema do sanduíche) aplicado para ângulos em (0,pi/2), e em seguida concluir que limalphato0sinalpha=0. Vamos precisar da desigualdade trigonométrica
Para xin(0,pi/2) vale:
xcos x
e do teorema do sanduíche.

Passo 2

Para alphain(-pi/2,0) definimos x=-alpha, de modo que xin(0,pi/2). Substituindo na desigualdade acima e usando
sin(-alpha)=-sinalpha,cos(-alpha)=cosalpha,
obtemos
(-alpha)cosalpha< -sinalpha< -alpha
Multiplicando toda a desigualdade por -1) e invertendo os sinais obtemos
alpha

Passo 3

À medida que alphato0^-, temos alphato0 e também
$$
\alpha\cos\alpha\to0,\quadpois\cos\alpha\to1.$$
Logo, os limites dos dois termos extremos são zero.

Passo 4

Pelo teorema do sanduíche, como
alpha
e ambos os limites dos extremos tendem a zero quando alphato0^-, segue que
limalphato0^-sinalpha=0

Passo 5

Sabendo ainda que limalphato0^+sinalpha=0 (obtido anteriormente para ângulos em (0,pi/2)), concluímos que o limite bilateral existe e é
limalphato0sinalpha=0

Resposta

0

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