Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em
e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de
litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora? Dica: Utilize a regra da substituição com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um tanque de petróleo que está vazando, e a taxa de vazamento é dada por $ r(t) = 100 t^{2} e^{-0,04 t^{3}} $ litros por minuto. A pergunta é: quanto petróleo vazou na primeira hora? Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais, e vamos aplicar a regra de substituição como a dica sugere.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a quantidade total de petróleo que vazou é a integral da taxa de vazamento $ r(t) $ em relação ao tempo, de $ t = 0 $ até $ t = 60 $ minutos (já que 1 hora tem 60 minutos). Então, nossa integral fica assim:
Isso significa que vamos somar, para cada minuto, a quantidade que vazou naquele instante.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da substituição para facilitar a integração. A dica nos dá que devemos usar $ u = -0,04 t^{3} $. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar $ du $, que é a derivada de $ u $ em relação a $ t $:
Queremos expressar $ t^{2} dt $ em termos de $ du $, então isolamos $ t^{2} dt $:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de $ u $:
Substituindo $ t^{2} dt $ por $ -\frac{25}{3} du $:
A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $, então:
Agora, substituímos $ u $ de volta para $ -0,04 t^{3} $:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 60 minutos:
Calculando para $ t = 60 $:
E para $ t = 0 $:
Portanto:
Resposta
A quantidade de petróleo que vazou na primeira hora foi aproximadamente $ \frac{2500}{3} $ litros, já que $ e^{-8640} $ é praticamente zero. Então: