Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t=0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t)=100 t^2 e^-0,04 t^3 litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora? Dica: Utilize a regra da substituição com u=-0,04 t^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um tanque de petróleo que está vazando, e a taxa de vazamento é dada por $ r(t) = 100 t^{2} e^{-0,04 t^{3}} $ litros por minuto. A pergunta é: quanto petróleo vazou na primeira hora? Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais, e vamos aplicar a regra de substituição como a dica sugere.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a quantidade total de petróleo que vazou é a integral da taxa de vazamento $ r(t) $ em relação ao tempo, de $ t = 0 $ até $ t = 60 $ minutos (já que 1 hora tem 60 minutos). Então, nossa integral fica assim:
r(t)
Isso significa que vamos somar, para cada minuto, a quantidade que vazou naquele instante.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da substituição para facilitar a integração. A dica nos dá que devemos usar $ u = -0,04 t^{3} $. Então, vamos definir:
u = -0,04 t^3
Agora, precisamos encontrar $ du $, que é a derivada de $ u $ em relação a $ t $:
u = -0,04 t^3
Queremos expressar $ t^{2} dt $ em termos de $ du $, então isolamos $ t^{2} dt $:
du

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de $ u $:
u
Substituindo $ t^{2} dt $ por $ -\frac{25}{3} du $:
integral 100 t^2 e^-0,04 t^3 , dt = 100 integral t^2 e^u , dt
A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $, então:
t^2 dt
Agora, substituímos $ u $ de volta para $ -0,04 t^{3} $:
-253 du

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 60 minutos:
Quantidade vazada = [ -25003 e^-0,04 t^3 ]0^60
Calculando para $ t = 60 $:
t = 60
E para $ t = 0 $:
-25003 e^-0,04 times 60^3 = -25003 e^-0,04 times 216000 = -25003 e^-8640
Portanto:
t = 0

Resposta

A quantidade de petróleo que vazou na primeira hora foi aproximadamente $ \frac{2500}{3} $ litros, já que $ e^{-8640} $ é praticamente zero. Então:
25003

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