Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais
tal que
é dado e, para todo
, tem-se que:
onde
é um número real fixo, diferente de 0 e de 1 chamado razão.
Mostre que
;
Mostre que
Passo 1
No enunciado temos a sequência definida recursivamente por
com
dado e
. O que queremos mostrar é que o termo geral dessa progressão geométrica é
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é apropriado quando a definição é recursiva.
Passo 2
Primeiro passo da indução: caso base. Para
, o lado esquerdo da fórmula é
e o lado direito é
Portanto, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja válida para um
, isto é,
Agora, a partir da definição recursiva, o termo
é dado por
Substituindo a hipótese de indução,
Isso mostra que, se a fórmula vale para
, ela também vale para
.
Passo 4
Concluímos, pelo princípio da indução matemática, que a fórmula
é verdadeira para todo
, o que era o que queríamos demonstrar.