Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais (an) tal que a1 é dado e, para todo n in N^*, tem-se que:
an+1=an cdot q
onde q é um número real fixo, diferente de 0 e de 1 chamado razão.
Mostre que an=a1 cdot q^n-1;

Passo 1

No enunciado temos a sequência definida recursivamente por
an+1=ancdot q,
com a1 dado e qneq0,1. O que queremos mostrar é que o termo geral dessa progressão geométrica é
an=a1cdot q^n-1
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é apropriado quando a definição é recursiva.

Passo 2

Primeiro passo da indução: caso base. Para n=1, o lado esquerdo da fórmula é a1 e o lado direito é
a1cdot q^1-1=a1cdot q^0=a1cdot1=a1
Portanto, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja válida para um n=k, isto é,
ak=a1cdot q^k-1
Agora, a partir da definição recursiva, o termo ak+1 é dado por
ak+1=akcdot q
Substituindo a hipótese de indução,
ak+1=(a1cdot q^k-1)cdot q=a1cdot q^k-1+1=a1cdot q^k=a1cdot q^(k+1)-1
Isso mostra que, se a fórmula vale para n=k, ela também vale para n=k+1.

Passo 4

Concluímos, pelo princípio da indução matemática, que a fórmula
an=a1cdot q^n-1
é verdadeira para todo ninN^*, o que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

an = a1 cdot q^n-1

Exercícios relacionados