Calcule as integrais, utilizando o método de Frações Parciais.
integral x^2+2x^3-3 x+2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral integral x^2+2x^3-3x+2,dx usando o método de frações parciais. Vamos aprender a fatorar o denominador, montar a decomposição e integrar termo a termo.

Passo 2

Fatoração do denominador: primeiro notamos que x^3 - 3x + 2 tem raiz x=1, pois 1^3 - 3cdot1 + 2 = 0. Dividindo por x-1 obtemos x^2 + x - 2, que fatorando dá (x+2)(x-1). Logo x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)

Passo 3

Montagem e cálculo dos coeficientes: escrevemos x^2+2(x-1)^2(x+2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+2 Multiplicando em cruz: x^2+2 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2 Avaliando em x=1 segue 3=3B portanto B=1. Em x=-2 vem 6=9C então C=tfrac23. Comparando coeficientes de x^2 1 = A + tfrac23, logo A=tfrac13.

Passo 4

Integração termo a termo: temos integral Ax-1,dx = Alnlvert x-1rvert, integral B(x-1)^2,dx = -Bx-1 e integral Cx+2,dx = Clnlvert x+2rvert. Substituindo A=tfrac13, B=1, C=tfrac23 resulta em 13lnlvert x-1rvert - 1x-1 + 23lnlvert x+2rvert + C.

Resposta

13lnlvert x-1rvert - 1x-1 + 23lnlvert x+2rvert + C

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