Calcule a seguinte integral por:
(a) Substituição simples.
integral x raiz(x+2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x,raiz(x+2)^3,dx usando substituição simples; o conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos usar a ideia de trocar x+2 por uma nova variável para simplificar.

Passo 2

Definimos a substituição u = x + 2. Então du = dx e x = u - 2. Dessa forma trocamos todas as ocorrências de x e dx por termos em u.
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x,(x+2)^3/2,dx = integral (u - 2),u^3/2,du = integral l(u^5/2 - 2u^3/2r),du

Passo 3

Agora, integramos termo a termo:
integral u^5/2,du = u^7/27/2 = 27u^7/2,
integral 2u^3/2,du = 2cdotu^5/25/2 = 45u^5/2
Assim, a integral torna-se
27u^7/2 - 45u^5/2 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original usando u = x + 2:
27(x+2)^7/2 - 45(x+2)^5/2 + C

Resposta

27(x+2)^7/2 - 45(x+2)^5/2 + C

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