Calcule as integrais, utilizando o método de Frações Parciais.
integral x^2-2 x+5x^2-3 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2-2x+5x^2-3x+2,dx usando frações parciais. O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos precisar fazer primeiro a divisão de polinômios (caso o grau do numerador seja maior ou igual ao do denominador) e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador. Observa que
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Passo 3

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, fazemos a divisão de polinômios: dividindo x^2-2x+5 por x^2-3x+2 obtemos
x^2-2x+5x^2-3x+2=1+x+3(x-1)(x-2)

Passo 4

Agora fazemos a decomposição em frações parciais da parte restante:
x+3(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2
Igualando numeradores:
x+3=A(x-2)+B(x-1)=(A+B)x+(-2A-B)
Logo temos o sistema
A+B=1, -2A - B=3
Resolvendo-o achamos A=-4 e B=5.

Passo 5

Substituindo de volta e integrando termo a termo:
integralx^2-2x+5x^2-3x+2,dx=integral!1,dx-4integral1x-1,dx+5integral1x-2,dx
Sabendo que integral1,dx=x+C e integral1x-a,dx=ln|x-a|+C, obtemos
x-4ln|x-1|+5ln|x-2|+C

Resposta

x-4ln|x-1|+5ln|x-2|+C

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