Encontre y^prime por derivação implícita:
e^xy=x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a equação e precisa encontrar , que é a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, quando a gente tem uma função de , que também depende de , usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo: . Aqui, usamos a regra da exponencial e a regra da cadeia. A derivada de é , onde .

Passo 4

Agora, vamos derivar u' = y cdot 1 - x cdot y'y^2 . Aplicando a regra do quociente, temos:

Passo 5

Juntando tudo, a derivada do lado esquerdo fica:
ddx(e^xy) = e^xy cdot (y - x y'y^2)

Passo 6

Agora, derivamos o lado direito da equação original, que é ddx(x - y) = 1 - y' . A derivada de é 1 e a derivada de é . Então:

Passo 7

Igualamos as derivadas dos dois lados:
e^xy cdot (y - x y'y^2) = 1 - y'

Passo 8

Vamos resolver para e^xy (y - x y') = y^2 (1 - y') . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 9

Distribuímos e^xy y - e^xy x y' = y^2 - y^2 y' e :

Passo 10

Agrupamos os termos com -e^xy x y' + y^2 y' = y^2 - e^xy y de um lado e os demais do outro:

Passo 11

Fatoramos y' (-e^xy x + y^2) = y^2 - e^xy y no lado esquerdo:

Passo 12

Isolamos y' = y^2 - e^xy y-e^xy x + y^2 :

Resposta

A derivada y' = y^2 - e^xy yy^2 - e^xy x é:

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