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por derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a equação
e precisa encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando
não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, quando a gente tem uma função de
, que também depende de
, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar derivando o lado esquerdo:
. Aqui, usamos a regra da exponencial e a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aplicando a regra do quociente, temos:
Passo 5
Juntando tudo, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 6
Agora, derivamos o lado direito da equação original, que é
. A derivada de
é 1 e a derivada de
é
. Então:
Passo 7
Igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 8
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 9
Distribuímos
e
:
Passo 10
Agrupamos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 11
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 12
Isolamos
:
Resposta
A derivada
é: