Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral(3 x^2+1)^3 d x Resposta: 124(3 x^2+1)^4+c

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral integral(3x^2+1)^3,dx. O conteúdo principal é integração de polinômios, e embora o enunciado sugira substituição, observamos que a derivada de 3x^2+1 é 6x, logo não aparece um fator x que permita aplicar diretamente u=3x^2+1. Portanto, vamos expandir o polinômio e integrar termo a termo.

Passo 2

Para expandir o cubo do binômio usamos a fórmula (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. Aqui a=3x^2 e b=1, então
(3x^2+1)^3 = (3x^2)^3 + 3(3x^2)^2cdot1 + 3(3x^2)cdot1^2 + 1^3 = 27x^6 + 27x^4 + 9x^2 + 1

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
integral 27x^6,dx = 277x^7, integral 27x^4,dx = 275x^5, integral 9x^2,dx = 3x^3, integral 1,dx = x

Passo 4

Somando todos os resultados e acrescentando a constante de integração, temos a antiderivada completa.

Resposta

277x^7 + 275x^5 + 3x^3 + x + C

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