Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral raiz1+ln (x)x d x Resposta: 23(1+ln (x))^3 / 2+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz1+ln(x)x,dx usando o método de substituição. Isso faz parte do tema de integração por substituição, onde vamos precisar identificar uma expressão interna cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Note que dentro da raiz temos 1+ln(x) e que ddx[ln(x)]=1x, que multiplica a raiz no integrando. Por isso, definimos a substituição u=1+ln(x), de modo que
du=1x,dx

Passo 3

Com essa troca, a integral original fica
integral raiz1+ln(x)x,dx=integral raizu,du=integral u^1/2,du

Passo 4

Agora usamos a regra de potência para integrais: integral u^n,du=u^n+1n+1+C (para nneq -1). Aqui n=tfrac12, logo
integral u^1/2,du=u^3/23/2+C=23u^3/2+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u=1+ln(x).

Resposta

23(1+ln(x))^3/2+C

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