Calcule as integrais utilizando as técnicas de integração.
integral x^3raiz4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral:
integral x^3raiz4+x^2 , dx
Estamos lidando com técnicas de integração, especificamente com substituição e divisão de frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de forma que possamos aplicar essas técnicas de maneira eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Observamos que o numerador é x^3, o que podemos reescrever como x cdot x^2. Assim:
x^3raiz4+x^2 = x cdot x^2raiz4+x^2
Agora, vamos expressar x^2 em termos de 4 + x^2:
x^2 = (4 + x^2) - 4
Substituindo na expressão:
x cdot x^2raiz4+x^2 = x cdot (4 + x^2) - 4raiz4+x^2 = x cdot ( 4 + x^2raiz4+x^2 - 4raiz4+x^2 )
Isso nos dá:
x^3raiz4+x^2 = x cdot raiz4 + x^2 - 4xraiz4 + x^2
Então, nossa integral fica dividida em duas partes:
integral x cdot raiz4 + x^2 , dx - 4 integral xraiz4 + x^2 , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral x cdot raiz4 + x^2 , dx
Aqui, usaremos a substituição. Vamos definir:
u = 4 + x^2 dudx = 2x Rightarrow x , dx = du2
Substituindo na integral:
integral x cdot raiz4 + x^2 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Integrando:
12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Voltando para x:
13 (4 + x^2)^3/2 + C

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
-4 integral xraiz4 + x^2 , dx
Novamente, usamos a substituição:
u = 4 + x^2 dudx = 2x Rightarrow x , dx = du2
Substituindo na integral:
-4 integral xraiz4 + x^2 , dx = -4 integral 1raizu cdot du2 = -2 integral u^-1/2 , du
Integrando:
-2 cdot 2 u^1/2 + C = -4 u^1/2 + C
Voltando para x:
-4 raiz4 + x^2 + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
13 (4 + x^2)^3/2 - 4 raiz4 + x^2 + C

Resposta

A integral calculada é igual a:
13 (4 + x^2)^32 - 4,raiz4 + x^2 + C

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