Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem uma integral dupla e precisamos inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e mudança de ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como reescrevê-los quando mudamos a ordem das varições. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, estamos integrando a variável $ y $ de 0 até $ \ln x $ e depois a variável $ x $ de 1 até $ e $. Nosso objetivo é inverter a ordem das integrações, ou seja, integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro desenhar a região de integração no plano $ xy $. Vamos identificar os limites:
- $ x $ varia de 1 a $ e $.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \ln x $.
Vamos reescrever isso para expressar $ x $ em função de $ y $:
Se $ y = \ln x $, então $ x = e^y $.
Então, para inverter, $ y $ varia de 0 a $ \ln e = 1 $ (já que $ x $ vai até $ e $), e para cada $ y $, $ x $ varia de $ e^y $ até $ e $.
Passo 4
Agora que temos os novos limites, a integral invertida fica:
Aqui, integrando primeiro em relação a $ x $ de $ e^y $ a $ e $, e depois em relação a $ y $ de 0 a 1.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 7
Primeiro, calculamos $ e \int_{0}^{1} y , dy $:
Passo 8
Agora, resolvemos $ \int_{0}^{1} y e^{y} , dy $ usando integração por partes. Seja $ u = y $ e $ dv = e^{y} dy $, então $ du = dy $ e $ v = e^{y} $. Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 9
Voltando à nossa expressão:
Então, a integral invertida e resolvida dá esse resultado.
Resposta
A integral resulta em
.