Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
integral1^e integral0^lncx y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem uma integral dupla e precisamos inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e mudança de ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e como reescrevê-los quando mudamos a ordem das varições. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
integral1^e integral0^ln x y , dy , dx
Aqui, estamos integrando a variável $ y $ de 0 até $ \ln x $ e depois a variável $ x $ de 1 até $ e $. Nosso objetivo é inverter a ordem das integrações, ou seja, integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro desenhar a região de integração no plano $ xy $. Vamos identificar os limites:
  • $ x $ varia de 1 a $ e $.
  • Para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ \ln x $.
Vamos reescrever isso para expressar $ x $ em função de $ y $:
Se $ y = \ln x $, então $ x = e^y $.
Então, para inverter, $ y $ varia de 0 a $ \ln e = 1 $ (já que $ x $ vai até $ e $), e para cada $ y $, $ x $ varia de $ e^y $ até $ e $.

Passo 4

Agora que temos os novos limites, a integral invertida fica:
integral0^1 integrale^y^e y , dx , dy
Aqui, integrando primeiro em relação a $ x $ de $ e^y $ a $ e $, e depois em relação a $ y $ de 0 a 1.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integrale^y^e y , dx
Como $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $, a integral fica:
y

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^1 y (e - e^y) , dy = e integral0^1 y , dy - integral0^1 y e^y , dy
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos $ e \int_{0}^{1} y , dy $:
e integral0^1 y , dy

Passo 8

Agora, resolvemos $ \int_{0}^{1} y e^{y} , dy $ usando integração por partes. Seja $ u = y $ e $ dv = e^{y} dy $, então $ du = dy $ e $ v = e^{y} $. Aplicando integração por partes:
integral0^1 y e^y , dy
Avaliando de 0 a 1:
u = y

Passo 9

Voltando à nossa expressão:
e2 - 1
Então, a integral invertida e resolvida dá esse resultado.

Resposta

A integral resulta em e2 - 1.

Exercícios relacionados