Calcule as integrais utilizando as técnicas de integração.
integral x+1(x-2)(x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral:
integral x+1(x-2)(x+3) , dx
Esse exercício faz parte do estudo de integrais de funções racionais, e para resolvê-lo, vamos usar a técnica de frações parciais. Essa técnica ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar fácil.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a fração pode ser decomposta em duas frações mais simples. Então, vamos escrever:
x + 1(x - 2)(x + 3) = Ax - 2 + Bx + 3
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum A :
B
Isso simplifica a equação e facilita encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 4

Vamos resolver para $ A $ e $ B $ escolhendo valores estratégicos de $ x $ que eliminam um dos termos.
Primeiro, escolha $ x = 2 $:
A

Passo 5

Agora, escolha $ x = -3 $:
x = -3

Passo 6

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
A
Podemos simplificar isso:
B

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 35(x - 2) , dx + integral 25(x + 3) , dx
Sabemos que:
integral 1x , dx = ln|x| + C

Passo 8

Aplicando a regra da integral, temos:
35 ln|x - 2| + 25 ln|x + 3| + C

Resposta

A integral calculada é:
integral x+1(x-2)(x+3) , dx = 35 ln|x - 2| + 25 ln|x + 3| + C

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