Calcule as integrais utilizando as técnicas de integração.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral:
Esse exercício faz parte do estudo de integrais de funções racionais, e para resolvê-lo, vamos usar a técnica de frações parciais. Essa técnica ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar fácil.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a fração pode ser decomposta em duas frações mais simples. Então, vamos escrever:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Isso simplifica a equação e facilita encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 4
Vamos resolver para $ A $ e $ B $ escolhendo valores estratégicos de $ x $ que eliminam um dos termos.
Primeiro, escolha $ x = 2 $:
Passo 5
Agora, escolha $ x = -3 $:
Passo 6
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Podemos simplificar isso:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando a regra da integral, temos:
Resposta
A integral calculada é: