Calcule integral0^2 pi d theta4+sin theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de $ \theta = 0 $ até $ \theta = 2\pi $ da função $ \frac{1}{4 + \sin \theta} $. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica conhecida como substituição de tangente da metade do ângulo, que ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $. Essa é a substituição de tangente da metade do ângulo que mencionei. A ideia aqui é transformar a integral em termos de $ t $, o que facilita a resolução.

Passo 3

Agora, com a substituição $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $, precisamos expressar $ \sin \theta $ em termos de $ t $. Sabemos que:
t = tan(theta2)
Isso vem das identidades trigonométricas que relacionam o seno do ângulo com a tangente da metade do ângulo.

Passo 4

Também precisamos expressar $ d\theta $ em termos de $ t $. Derivando ambos os lados da substituição $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $, temos:
dtheta
Essa expressão nos ajuda a substituir $ d\theta $ na integral original.

Passo 5

Vamos agora substituir $ \sin \theta $ e $ d\theta $ na integral original com as expressões em termos de $ t $:
sin theta
Simplificando o denominador:
dtheta
Então a integral fica:
t

Passo 6

Vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral:
4 + 4t^2 + 2t = 4t^2 + 2t + 4
Podemos fatorar isso para facilitar a integração. Primeiro, vamos completar o quadrado:
4t^2 + 2t + 4 = 4(t^2 + t2 + 1)
Completando o quadrado para $ t^2 + \frac{t}{2} $:
t^2 + t2
Então:
t^2 + t2 = (t + 14)^2 - 116

Passo 7

Agora, nossa integral ficou assim:
integral 24t^2 + 2t + 4 dt = integral 24(t + 14)^2 + 154 dt
Podemos simplificar isso fatorando o 4 do denominador:
integral 24((t + 14)^2 + 1516) dt = 12 integral 1(t + 14)^2 + (raiz154)^2 dt

Passo 8

Reconhecemos que a integral agora tem a forma de $ \frac{1}{a^2 + x^2} $, cuja integral é $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) $.
Aplicando isso:
1a^2 + x^2
Agora, substituindo de volta $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $:
1a arctan(xa)

Resposta

A integral $ \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{4+\sin \theta} $ é igual a $ \frac{2\pi}{\sqrt{15}} $.

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