Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de $ \theta = 0 $ até $ \theta = 2\pi $ da função $ \frac{1}{4 + \sin \theta} $. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica conhecida como substituição de tangente da metade do ângulo, que ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $. Essa é a substituição de tangente da metade do ângulo que mencionei. A ideia aqui é transformar a integral em termos de $ t $, o que facilita a resolução.
Passo 3
Agora, com a substituição $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $, precisamos expressar $ \sin \theta $ em termos de $ t $. Sabemos que:
Isso vem das identidades trigonométricas que relacionam o seno do ângulo com a tangente da metade do ângulo.
Passo 4
Também precisamos expressar $ d\theta $ em termos de $ t $. Derivando ambos os lados da substituição $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $, temos:
Essa expressão nos ajuda a substituir $ d\theta $ na integral original.
Passo 5
Vamos agora substituir $ \sin \theta $ e $ d\theta $ na integral original com as expressões em termos de $ t $:
Simplificando o denominador:
Então a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral:
Podemos fatorar isso para facilitar a integração. Primeiro, vamos completar o quadrado:
Completando o quadrado para $ t^2 + \frac{t}{2} $:
Então:
Passo 7
Agora, nossa integral ficou assim:
Podemos simplificar isso fatorando o 4 do denominador:
Passo 8
Reconhecemos que a integral agora tem a forma de $ \frac{1}{a^2 + x^2} $, cuja integral é $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) $.
Aplicando isso:
Agora, substituindo de volta $ t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) $:
Resposta
A integral $ \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{4+\sin \theta} $ é igual a $ \frac{2\pi}{\sqrt{15}} $.