Calcule as integrais utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi2 12+cos (2 x)2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi2l(12+cos(2x)2r),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar reconhecer que podemos decompor a integral em duas partes e então encontrar uma primitiva para cada parcela.

Passo 2

Decompondo a integral em duas:
integral0^pi2l(12+cos(2x)2r),dx = integral0^pi212,dx + integral0^pi2cos(2x)2,dx

Passo 3

Calculamos primitiva de cada parcela:
  1. Para 12: uma primitiva é x2, pois dfracddxl(tfracx2r)=tfrac12.
  2. Para cos(2x)2: tirando a constante tfrac12, integral cos(2x)2,dx = 12integral cos(2x),dx = 12cdotsin(2x)2 = sin(2x)4
Logo, uma primitiva conjunta é
F(x)=x2+sin(2x)4

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F de 0 a pi2:
Fl(tfracpi2r)-F(0) =l(tfracpi22+sin(pi)4r) -l(02+sin(0)4r) =pi4+0-0 =pi4

Resposta

integral0^pi2l(12+cos(2x)2r),dx =pi4

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