Calcule as integrais utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi3 4 sec x tan x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi3 4 sec x tan x , dx
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse conteúdo envolve encontrar uma antiderivada de sec x tan x e depois avaliá-la nos limites de integração.

Passo 2

Encontrar a primitiva de 4 sec x tan x. Sabemos que
ddx(sec x) = sec x tan x
Multiplicando por 4, uma antiderivada de 4 sec x tan x é
4 sec x + C

Passo 3

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Seja
F(x) = 4 sec x
Então
integral0^pi3 4 sec x tan x , dx = F!l(tfracpi3r) - F(0)
Calculemos cada termo:
F!l(tfracpi3r) = 4 sec!l(tfracpi3r) = 4 cdot 2 = 8,
F(0) = 4 sec(0) = 4 cdot 1 = 4
Logo,
integral0^pi3 4 sec x tan x , dx = 8 - 4 = 4

Resposta

O valor da integral é 4.

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