Calcule as integrais utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^3 pi2 12-sin (2 x)2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^3pi2l(tfrac12 - tfracsin(2x)2r),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo envolvido é encontrar uma antiderivada F(x) da função integranda e depois avaliar F nos limites de integração.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x). Separamos a integral em duas partes:
integral tfrac12,dx = tfracx2+C1, integral -tfracsin(2x)2,dx = -tfrac12integral sin(2x),dx
Como
integral sin(2x),dx = -tfraccos(2x)2+C2,
temos
-tfrac12integral sin(2x),dx = -tfrac12l(-tfraccos(2x)2r) = tfraccos(2x)4
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = x2 + cos(2x)4

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^3pi2l(tfrac12 - tfracsin(2x)2r),dx = F!l(tfrac3pi2r) - F(0)
Calculamos cada termo:
F!l(tfrac3pi2r) = tfrac3pi22 + cosl(2cdottfrac3pi2r)4 = 3pi4 + cos(3pi)4 = 3pi4 - 14,
F(0) = 02 + cos(0)4 = 0 + 14 = 14

Passo 4

Subtraindo, obtemos
F!l(tfrac3pi2r) - F(0) = l(3pi4 - 14r) - 14 = 3pi4 - 12

Resposta

integral0^3pi2l(tfrac12 - tfracsin(2x)2r),dx = 3pi4 - 12

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