Questão-06. (1,0 ponto/item). Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Pede-se uma primitiva (integração indefinida), logo o resultado virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia e identidade básica usada (explicação didática): para potências pares de seno é comum usar a identidade de redução de potência
O que isso significa: ao transformar
em termos do cosseno de um ângulo duplo, reduzimos a potência e conseguimos integrar mais facilmente. Nesta integral temos
, então vamos aplicar a identidade duas vezes.
Passo 3
Aplicar a identidade passo a passo:
Primeiro escrevemos
Primeiro escrevemos
Agora expandimos o quadrado:
Em seguida usamos outra vez a identidade de redução para
:
Substituindo:
Simplificando as frações:
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembrete: a integral de
é
, porque ao derivar
aparece um fator
. Aplicando isso:
Integral de cada parcela:
Passo 5
Juntando as parcelas e adicionando a constante de integração
: