Questão-06. (1,0 ponto/item). Calcule as integrais indefinidas
\int \operatorname{sen}^{4}(3 x) d x

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{4}(3x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}^{4}(3x).
  • A variável de integração é x.
  • Pede-se uma primitiva (integração indefinida), logo o resultado virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia e identidade básica usada (explicação didática): para potências pares de seno é comum usar a identidade de redução de potência
\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
O que isso significa: ao transformar \operatorname{sen}^2 em termos do cosseno de um ângulo duplo, reduzimos a potência e conseguimos integrar mais facilmente. Nesta integral temos \operatorname{sen}^{4}(3x) = (\operatorname{sen}^2(3x))^2, então vamos aplicar a identidade duas vezes.

Passo 3

Aplicar a identidade passo a passo:
Primeiro escrevemos
\operatorname{sen}^{4}(3x)=\big(\operatorname{sen}^2(3x)\big)^2 =\left(\frac{1-\cos(2\cdot 3x)}{2}\right)^2 =\left(\frac{1-\cos(6x)}{2}\right)^2.
Agora expandimos o quadrado:
\left(\frac{1-\cos(6x)}{2}\right)^2=\frac{1-2\cos(6x)+\cos^2(6x)}{4}.
Em seguida usamos outra vez a identidade de redução para \cos^2(6x):
\cos^2(6x)=\frac{1+\cos(12x)}{2}.
Substituindo:
\operatorname{sen}^{4}(3x)=\frac{1-2\cos(6x)+\dfrac{1+\cos(12x)}{2}}{4} =\frac{\tfrac{3}{2}-2\cos(6x)+\tfrac{1}{2}\cos(12x)}{4}.
Simplificando as frações:
\operatorname{sen}^{4}(3x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(6x)+\frac{1}{8}\cos(12x).

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembrete: a integral de \cos(kx) é \dfrac{1}{k}\sin(kx), porque ao derivar \sin(kx) aparece um fator k. Aplicando isso:
\int \operatorname{sen}^{4}(3x)\,dx =\int\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(6x)+\frac{1}{8}\cos(12x)\right)dx.
Integral de cada parcela:
  • \displaystyle \int \frac{3}{8}\,dx=\frac{3}{8}x.
  • \displaystyle \int -\frac{1}{2}\cos(6x)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x)=-\frac{1}{12}\sin(6x).
  • \displaystyle \int \frac{1}{8}\cos(12x)\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}\sin(12x)=\frac{1}{96}\sin(12x).

Passo 5

Juntando as parcelas e adicionando a constante de integração C:
\int \operatorname{sen}^{4}(3x)\,dx =\frac{3}{8}x-\frac{1}{12}\sin(6x)+\frac{1}{96}\sin(12x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}x-\frac{1}{12}\sin(6x)+\frac{1}{96}\sin(12x)+C

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