Calcule as integrais e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.
integral 1x(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1x(x+1)^2,dx e depois verificar o resultado derivando-o. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais, e vamos precisar usar simplificação algébrica para separar em termos mais fáceis de integrar e, em seguida, propriedades básicas de antiderivadas e a verificação pela derivada.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando escrevendo (x+1)^2=x^2+2x+1 e dividindo por x:
(x+1)^2x=x^2+2x+1x=x+2+1x
Agora integramos termo a termo usando que integral x,dx=tfracx^22, integral2,dx=2x e integraltfrac1x,dx=ln|x|:
integrall(x+2+tfrac1xr)dx=x^22+2x+ln|x|+C
Para checar, derivamos o resultado e confirmamos que voltamos ao integrando original:
ddxl(tfracx^22+2x+ln|x|r)=x+2+1x,
que é exatamente (x+1)^2x. Portanto, a solução está correta.

Resposta

x^22+2x+ln|x|+C

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