Usando coordenadas polares, resolva cada item abaixo
Calcule o comprimento da curva
.
Calcule o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por
no intervalo
. Para isso, vamos usar coordenadas polares. Vou explicar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma equação em coordenadas polares que descreve uma curva. No caso, essa curva é um círculo com diâmetro 4 unidades. As coordenadas polares usam o ângulo
e a distância
do ponto até a origem para definir a posição.
Passo 3
Para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é o comprimento da curva,
e
são os limites do intervalo de
,
é a função que define a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
para a nossa função
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento:
Passo 6
Vamos simplificar dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Agora, é só integrar:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.