Usando coordenadas polares, resolva cada item abaixo
Calcule o comprimento da curva rho=4 sen(theta), com theta in[0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por rho = 4 sin(theta) no intervalo theta in [0, pi]. Para isso, vamos usar coordenadas polares. Vou explicar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rho = 4 sin(theta). Essa é uma equação em coordenadas polares que descreve uma curva. No caso, essa curva é um círculo com diâmetro 4 unidades. As coordenadas polares usam o ângulo theta e a distância rho do ponto até a origem para definir a posição.

Passo 3

Para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares, usamos a seguinte fórmula:
L = integrala^b raiz rho^2 + ( drhodtheta )^2 , dtheta
Aqui, L é o comprimento da curva, a e b são os limites do intervalo de theta, rho é a função que define a curva, e drhodtheta é a derivada de rho em relação a theta.

Passo 4

Vamos calcular drhodtheta para a nossa função rho = 4 sin(theta):
drhodtheta = 4 cos(theta)

Passo 5

Agora, substituímos rho e drhodtheta na fórmula do comprimento:
L = integral0^pi raiz (4 sin(theta))^2 + (4 cos(theta))^2 , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar dentro da raiz:
(4 sin(theta))^2 + (4 cos(theta))^2 = 16 sin^2(theta) + 16 cos^2(theta) = 16 (sin^2(theta) + cos^2(theta))
Sabemos que sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1, então:
16 (sin^2(theta) + cos^2(theta)) = 16 times 1 = 16

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
L = integral0^pi raiz16 , dtheta = integral0^pi 4 , dtheta

Passo 8

Agora, é só integrar:
L = 4 integral0^pi dtheta = 4 [ theta ]0^pi = 4 (pi - 0) = 4pi

Resposta

O comprimento da curva é 4pi unidades.

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