Nos problemas 1 ao 9 , use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condiçōes iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções de degrau unitário.
Passo 1
Então, temos que resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, precisamos saber transformar a equação para o domínio de Laplace, resolver para a transformada de
e depois aplicar a transformada inversa para achar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de
é
, onde
é a transformada de
. A transformada de uma constante, como 1, é
.
Então, transformando a equação:
Passo 3
Substituímos a condição inicial
na equação:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Passo 5
Por fim, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que
.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.