Verifique se cada integral é convergente ou divergente. Se for convergente, então calcule a integral.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral que vai de 0 até o infinito da função $ \frac{x}{x^{2} + 1} $. O que precisamos fazer aqui é verificar se essa integral “converge” (ou seja, dá um número finito) ou “diverge” (vai para o infinito). Se ela convergir, também vamos calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função $ \frac{x}{x^{2} + 1} $. Quando $ x $ cresce muito, o termo $ x^{2} $ domina no denominador, então a função se aproxima de $ \frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x} $. Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x} $ de 1 até o infinito diverge, ou seja, tende ao infinito. Isso já dá uma dica de que nossa integral original pode divergir, mas vamos verificar direitinho.
Passo 3
Vamos calcular a integral de fato. Para resolver $ \int \frac{x}{x^{2} + 1} dx $, podemos usar a substituição $ u = x^{2} + 1 $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du = 2x dx $, o que significa que $ x dx = \frac{du}{2} $.
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa integral de 0 até $ t $ e depois tirar o limite quando $ t $ se aproxima do infinito:
Quando $ t $ vai para o infinito, $ \ln(t^{2} + 1) $ cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Portanto, a integral não tem um valor finito.
Resposta
A integral é divergente.