Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral0^2 x(2+x^2) d x

Passo 1

A integral dada é integral0^2 x,(2 + x^2),dx. O conteúdo é integração de polinômios, e vamos usar a linearidade da integral e a regra do poder para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Expandindo o integrando por distributividade, temos
x,(2 + x^2) = 2x + x^3

Passo 3

Integramos termo a termo usando a regra do poder ( integral x^n dx = x^n+1/(n+1)):
integral 2x,dx = x^2 + C,
integral x^3,dx = x^44 + C
Portanto, uma antiderivada comum é
F(x) = x^2 + x^44

Passo 4

Aplicamos os limites de 0 a 2 em F(x):
F(2) - F(0) = l(2^2 + 2^44r) - l(0^2 + 0^44r) = (4 + 4) - 0 = 8

Passo 5

Para verificar, diferenciamos F(x):
F'(x) = ddxl(x^2 + tfracx^44r) = 2x + x^3,
que é exatamente o integrando. Tudo confere.

Resposta

8

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