Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um campo vetorial em função de um parâmetro: integral1^2l(1t^2,i+4t^4,j+(t^2+1),kr),dt. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais componente a componente, usando as regras básicas de potência e soma de integrais.

Passo 2

Primeiro, integramos a componente em i. Sabemos que integral t^n,dt=t^n+1n+1 e que t^-2 segue a mesma regra com n=-2. Assim,
$$\int\frac{1}{t^{2}},dt=\int t{-2},dt=\frac{t{-1}}{-1}=-\frac{1}{t},.
$$

Passo 3

Em seguida, integramos a componente em j. Como é apenas um polinômio,
$$\int4t{4},dt=4\cdot\frac{t{5}}{5}=\frac{4}{5}t^{5},.
$$

Passo 4

Agora, integramos a componente em k, que é soma de potências:
$$\int(t^{2}+1),dt=\int t{2},dt+\int1,dt=\frac{t{3}}{3}+t,.
$$

Passo 5

Com isso, a antiderivada vetorial é
$$\vec F(t)=-\frac{1}{t},\vec i+\frac{4}{5}t^{5},\vec j+\Bigl(\frac{t^{3}}{3}+t\Bigr),\vec k,.
$$

Passo 6

Finalmente, avaliamos entre t=1 e t=2 e subtraímos:
vec F(2)-vec F(1)=l(-tfrac12-(-1)r),vec i+l(tfrac45!cdot32-tfrac45!cdot1r),vec j+l((tfrac83+2)-(tfrac13+1)r),vec k

Passo 7

Realizando as contas em cada componente, obtemos
$$\frac12,\vec i+\frac{124}{5},\vec j+\frac{10}{3},\vec k,.
$$

Resposta

tfrac12,i+tfrac1245,j+tfrac103,k

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