Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de um campo vetorial em função de um parâmetro:
. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais componente a componente, usando as regras básicas de potência e soma de integrais.
Passo 2
Primeiro, integramos a componente em
. Sabemos que
e que
segue a mesma regra com
. Assim,
$$\int\frac{1}{t^{2}},dt=\int t{-2},dt=\frac{t{-1}}{-1}=-\frac{1}{t},.
$$
Passo 3
Em seguida, integramos a componente em
. Como é apenas um polinômio,
$$\int4t{4},dt=4\cdot\frac{t{5}}{5}=\frac{4}{5}t^{5},.
$$
Passo 4
Agora, integramos a componente em
, que é soma de potências:
$$\int(t^{2}+1),dt=\int t{2},dt+\int1,dt=\frac{t{3}}{3}+t,.
$$
Passo 5
Com isso, a antiderivada vetorial é
$$\vec F(t)=-\frac{1}{t},\vec i+\frac{4}{5}t^{5},\vec j+\Bigl(\frac{t^{3}}{3}+t\Bigr),\vec k,.
$$
Passo 6
Finalmente, avaliamos entre
e
e subtraímos:
Passo 7
Realizando as contas em cada componente, obtemos
$$\frac12,\vec i+\frac{124}{5},\vec j+\frac{10}{3},\vec k,.
$$