Questão 12. Determine a solução do PVI
(Resp.
e
Passo 1
A questão pede a solução de dois problemas de valor inicial (PVI) de equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante para cada um.
Passo 2
Para o PVI 1 (y’+(1+x2)e{-x}y=0, y(0)=1) reconhecemos que p(x)=(1+x2)e{-x}. O fator integrante é μ(x)=exp(∫p(x)dx).
Passo 3
Calculemos ∫(1+x2)e{-x}dx por partes:
Logo μ(x)=exp(-e{-x}(x2+2x+3)). A solução geral é
Impondo y(0)=1, obtemos C=e^{-3}. Portanto
Passo 4
Para o PVI 2 (y’+y=1+x^2, y(0)=2) temos p(x)=1, então μ(x)=e{∫1dx}=ex. Multiplicando a equação por e^x dá
Integrando,
Isolando y e aplicando y(0)=2:
Logo
Resposta
Para o primeiro PVI:
. Para o segundo PVI:
.