Questão 12. Determine a solução do PVI
r l y ^ prime + ( 1 + x ^ 2 ) e ^ - x y & = 0 y ( 0 ) & = 1 e rl y^prime+y & =1+x^2 y(0) & =2
(Resp. e

Passo 1

A questão pede a solução de dois problemas de valor inicial (PVI) de equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante para cada um.

Passo 2

Para o PVI 1 (y’+(1+x2)e{-x}y=0, y(0)=1) reconhecemos que p(x)=(1+x2)e{-x}. O fator integrante é μ(x)=exp(∫p(x)dx).

Passo 3

Calculemos ∫(1+x2)e{-x}dx por partes:
integral(1+x^2)e^-xdx=-e^-x(x^2+2x+3)+C
Logo μ(x)=exp(-e{-x}(x2+2x+3)). A solução geral é
y=C,e^-integral p(x)dx=C,e^e^-x(x^2+2x+3)
Impondo y(0)=1, obtemos C=e^{-3}. Portanto
y1=expl(e^-x(x^2+2x+3)-3r)

Passo 4

Para o PVI 2 (y’+y=1+x^2, y(0)=2) temos p(x)=1, então μ(x)=e{∫1dx}=ex. Multiplicando a equação por e^x dá
ddx(ye^x)=(1+x^2)e^x
Integrando,
ye^x=integral(1+x^2)e^x dx=e^x(x^2-2x+3)+C
Isolando y e aplicando y(0)=2:
y=x^2-2x+3+Ce^-x,
y(0)=3+C=2implies C=-1
Logo
y2=x^2-2x+3-e^-x

Resposta

Para o primeiro PVI: y=expl(e^-x(x^2+2x+3)-3r). Para o segundo PVI: y=x^2-2x+3-e^-x.

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