Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,e^-x,dx
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes de forma a simplificar a integral:
u = x, dv = e^-x,dx
Então calculamos
du = dx e v = integral e^-x,dx = -e^-x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x,e^-x,dx = u,v - integral v,du = xl(-e^-xr) - integral l(-e^-xr),dx
Isso dá
integral x,e^-x,dx = -x,e^-x + integral e^-x,dx

Passo 4

A integral remanescente é direta:
integral e^-x,dx = -e^-x
Logo
integral x,e^-x,dx = -x,e^-x - e^-x + C = -(x + 1),e^-x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-(x + 1),e^-x + C

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