Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+y^prime-2 y=t^2+3, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = t^2 + 3, y(0)=0, y'(0)=0
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de superposição: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados, concluindo com as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' + y' - 2y = 0
assumimos yh = e^rt. O polinômio característico é
r^2 + r - 2 = 0
to r = 1 ou r = -2. Portanto
yh(t) = C e^t + D e^-2t

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
yp(t) = a t^2 + b t + c
Calculamos
yp' = 2a t + b, yp'' = 2a,
e substituímos em y''+y'-2y = t^2+3:
2a + (2a t + b) - 2(a t^2 + b t + c) = -2a,t^2 + (2a-2b),t + (2a + b - 2c) equiv t^2 + 0,t + 3
Igualando coeficientes, vem
-2a = 1 implies a = -tfrac12,
2a - 2b = 0 implies b = a = -tfrac12,
2a + b - 2c = 3 implies -1 - tfrac12 -2c = 3 implies c = -tfrac94
Logo
yp(t) = -tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C e^t + D e^-2t - tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=0 implies C + D - tfrac94 = 0 implies C + D = tfrac94
Derivando,
y'(t) = C e^t - 2D e^-2t - t - tfrac12,
logo em t=0:
y'(0)=0 implies C - 2D - tfrac12 = 0 implies C - 2D = tfrac12
Resolvendo o sistema
C + D = tfrac94, C - 2D = tfrac12,
obtemos
D = tfrac712, C = tfrac53

Passo 5

Substituindo C e D na solução geral, concluímos
y(t) = 53,e^t + 712,e^-2t - 12,t^2 - 12,t - 94

Resposta

boxedy(t) = 53e^t + 712e^-2t - 12,t^2 - 12,t - 94

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