Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral r,e^r/2,dr
O conteúdo principal aqui é a integração por partes, que usamos quando o integrando é produto de funções fáceis de derivar e integrar.

Passo 2

Escolhemos as partes para aplicar
u = r, dv = e^r/2,dr
Então
du = dr,
e para achar v calculamos
v = integral e^r/2,dr
Fazendo a substituição t = r/2implies dr = 2,dt, temos
v = integral e^tcdot2,dt = 2e^t = 2e^r/2

Passo 3

A fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aplicando-a:
integral r,e^r/2,dr = rcdotl(2e^r/2r);-;integral l(2e^r/2r),dr
Logo
integral r,e^r/2,dr = 2r,e^r/2 - 2integral e^r/2,dr
Mas já sabemos integral e^r/2,dr = 2e^r/2, então
integral r,e^r/2,dr = 2r,e^r/2 - 2cdot2e^r/2 + C

Passo 4

Fatorando 2e^r/2 na expressão acima, obtemos
2r,e^r/2 - 4e^r/2 = 2l(r-2r)e^r/2

Resposta

2l(r-2r)e^r/2 + C

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