Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral t,sin(2t),dt
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que usa a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes de forma que a derivada de u seja simples e dv seja integrável:
u = t, dv = sin(2t),dt

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dt, v = integral sin(2t),dt = -tfrac12cos(2t)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t,sin(2t),dt = u,v - integral v,du = tl(-tfrac12cos(2t)r) - integral l(-tfrac12cos(2t)r),dt
Isso dá
-tfrac12,tcos(2t) + tfrac12integral cos(2t),dt
Agora,
integral cos(2t),dt = tfrac12sin(2t),
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-tfrac12,tcos(2t) + tfrac12cdottfrac12sin(2t) = -tfrac12,tcos(2t) + tfrac14sin(2t)

Resposta

-tfrac12,tcos(2t) + tfrac14sin(2t) + C

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