Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral z^3e^z,dz
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que aplicaremos repetidas vezes porque o polinômio em z diminui de grau a cada aplicação.

Passo 2

Na primeira aplicação escolhemos
u=z^3 e dv=e^z,dz.
Então
du=3z^2,dz e v=e^z.
Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
vemos que
integral z^3e^z,dz = z^3e^z - 3integral z^2e^z,dz

Passo 3

Agora precisamos de integral z^2e^z,dz. Aplicando de novo integração por partes com
u=z^2, dv=e^z,dz,
temos du=2z,dz, v=e^z e
integral z^2e^z,dz = z^2e^z - 2integral z,e^z,dz
Substituindo em
integral z^3e^z,dz = z^3e^z - 3integral z^2e^z,dz
integral z^3e^z,dz = z^3e^z - 3l(z^2e^z - 2integral z,e^z,dzr) = z^3e^z - 3z^2e^z + 6integral z,e^z,dz

Passo 4

Falta integral z,e^z,dz. Mais uma vez, integração por partes com
u=z, dv=e^z,dz,
logo du=dz, v=e^z, e
integral z,e^z,dz = z,e^z - integral e^z,dz = z,e^z - e^z
Substituindo de volta em
integral z^3e^z,dz = z^3e^z - 3z^2e^z + 6integral z,e^z,dz
obtém-se
integral z^3e^z,dz = z^3e^z - 3z^2e^z + 6l(z,e^z - e^zr) = e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

Resposta

integral z^3e^z,dz = e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

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