Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x ,tg^2x,dx
O conteúdo principal aqui é trigonometria (identidade de tan^2x) e integração por partes para reduzir a integral de xsec^2x.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
tan^2x = sec^2x - 1
Portanto
tg^2x = sec^2x - 1

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral x,tg^2x,dx = integral xl(sec^2x - 1r),dx = integral x,sec^2x,dx ;-;integral x,dx

Passo 4

Calculemos primeiro
integral x,sec^2x,dx
por partes, escolhendo
u = x, dv = sec^2x,dx
logo
du = dx, v = tan x
A fórmula de integração por partes diz
integral u,dv = u,v - integral v,du,
então
integral x,sec^2x,dx = xtan x - integral tan x,dx
Sabemos que
integral tan x,dx = -lnl|cos xr|
Logo
integral x,sec^2x,dx = xtan x + lnl|cos xr|

Passo 5

A segunda integral é imediata:
integral x,dx = x^22

Passo 6

Juntando os resultados,
integral x,tg^2x,dx = l(xtan x + ln|cos x|r);-;x^22 + C

Resposta

boxedxtan x + lnl|cos xr| - x^22 + C

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