Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x,e^2x(1+2x)^2,dx
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição adequada para simplificar o denominador e depois, se necessário, aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 2x, du = 2,dx;Rightarrow;dx = du2, x = u-12, e^2x=e^u-1=e^-1e^u
Substituindo na integral,
integral x,e^2x(1+2x)^2,dx = integral tfracu-12,e^-1e^uu^2,du2 = e^-14integral (u-1)e^uu^2,du

Passo 3

Note que
u-1u^2 = 1u - 1u^2,
logo a integral fica
e^-14integrall(e^uu - e^uu^2r),du = e^-14l(integral e^uu,du - integral e^uu^2,dur)

Passo 4

Para integral e^uu^2,du usamos integração por partes, escolhendo
f = e^u, g' = u^-2 Rightarrow f' = e^u, g = -u^-1
Então
integral e^uu^2,du = f,g - integral f',g = -e^uu + integral e^uu,du

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão do passo anterior, os dois termos integral e^uu,du se cancelam, sobrando
e^-14cdote^uu = e^u-14u

Passo 6

Voltando à variável x com u = 1 + 2x, obtemos
e^(1+2x)-14(1+2x) = e^2x4(1+2x)
Não esqueça de adicionar a constante de integração C.

Resposta

e^2x4(1+2x) + C

Exercícios relacionados