Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^6 x ,cos^3 x ,dx
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno; vamos usar a identidade trigonométrica para reduzir a potência de cos x e depois aplicar a substituição u=sin x.

Passo 2

Usamos
cos^3 x = cos^2 x;cos x = (1-sin^2 x)cos x
Logo a integral fica
integral sin^6 x ,cos^3 x ,dx = integral sin^6 x,(1-sin^2 x),cos x ,dx

Passo 3

Fazendo u=sin x, temos du=cos x,dx. A integral transforma-se em
integral u^6,(1-u^2),du = integral l(u^6 - u^8r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral u^6,du = u^77, integral u^8,du = u^99
Assim
integral (u^6 - u^8),du = u^77 - u^99 + C

Passo 5

Voltando a x com u=sin x, obtemos
integral sin^6 x,cos^3 x,dx = sin^7 x7 - sin^9 x9 + C

Resposta

sin^7 x7 - sin^9 x9 + C

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