Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi/2 cos^5 x ,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de cosseno, e vamos usar a identidade trigonométrica para reescrever cos^5 x e depois fazer a substituição u=sin x.

Passo 2

Reescrevemos
cos^5 x = cos^4 x cdot cos x = (1 - sin^2 x)^2 ,cos x

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sin x, du = cos x ,dx,
com limites x=0Rightarrow u=0 e x=tfracpi2Rightarrow u=1.

Passo 4

A integral original torna-se
integral0^pi/2 cos^5 x ,dx = integral0^1 (1 - u^2)^2 ,du

Passo 5

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
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integral0^1 (1 - 2u^2 + u^4),du = gl[u - tfrac23u^3 + tfrac15u^5gr]0^1 = 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac815

Resposta

tfrac815

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