Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 x^3raiz1 - x^2;dx
O conteúdo central aqui é integração por substituição, aproveitando que dentro da raiz apareça 1 - x^2. Vamos usar a substituição t = 1 - x^2.

Passo 2

Fazendo t = 1 - x^2 temos
dt = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -dt2
e também x^2 = 1 - t. Então
x^3,dx = x^2l(x,dxr) = (1 - t)l(-dt2r) = -1 - t2,dt

Passo 3

Quando x=0 vem t=1, e quando x=1 vem t=0. Substituindo na integral original:
integral0^1 x^3raiz1 - x^2;dx = integralt=1^t=0 -1 - t2,raizt;dt = 12integral0^1(1 - t),t^1/2;dt

Passo 4

Distribuindo e usando integral0^1t^a,dt = 1a+1:
12integral0^1(t^1/2 - t^3/2),dt = 12l[integral0^1t^1/2,dt - integral0^1t^3/2,dtr] = 12l[1tfrac32 - 1tfrac52r]

Passo 5

Calculando os coeficientes:
1tfrac32 = 23, 1tfrac52 = 25,
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12l(23 - 25r) = 12cdot10 - 615 = 12cdot415 = 215

Resposta

215

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