Calcule a integral.
\quad \int \operatorname{sen}^{2}(\pi x) \cos ^{5}(\pi x) d x\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^2(pi x)cos^5(pi x),dx
O conteúdo é técnicas de integração: substituição trigonométrica e uso da identidade sin^2+cos^2=1.

Passo 2

Como a potência de cos(pi x) é ímpar, separamos um fator cos(pi x) para o du e escrevemos o restante em função de sin(pi x):
sin^2(pi x)cos^5(pi x) =sin^2(pi x)cos^4(pi x)cos(pi x) =sin^2(pi x)l(1-sin^2(pi x)r)^2cos(pi x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sin(pi x), du = pi cos(pi x),dx Longrightarrow cos(pi x),dx = dupi
A integral torna-se
integral sin^2(pi x)l(1-sin^2(pi x)r)^2cos(pi x),dx =integral u^2(1-u^2)^2dupi

Passo 4

Expandimos e integramos o polinômio:
u^2(1-u^2)^2 =u^2 - 2u^4 + u^6,
integral (u^2 - 2u^4 + u^6),du =u^33-2u^55+u^77+C
Multiplicando por 1/pi,
integral u^2(1-u^2)^2dupi =1pil(u^33-2u^55+u^77r)+C

Passo 5

Voltando a x com u=sin(pi x), obtemos
integral sin^2(pi x)cos^5(pi x),dx =1pil(sin^3(pi x)3-2sin^5(pi x)5+sin^7(pi x)7r)+C

Resposta

boxed integral sin^2(pi x)cos^5(pi x),dx =1pil(sin^3(pi x)3-2sin^5(pi x)5+sin^7(pi x)7r)+C

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