Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
integral dt(t^2-1)^2
O conteúdo principal aqui é integração por decomposição em frações parciais, pois o denominador fatora como (t-1)^2(t+1)^2.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
1(t^2-1)^2 =At-1+B(t-1)^2+Ct+1+D(t+1)^2
Multiplicando por (t-1)^2(t+1)^2 e avaliando em t=1 e t=-1, temos
1 = Bcdot(1+1)^2 implies B=tfrac14, 1 = Dcdot(-1-1)^2 implies D=tfrac14

Passo 3

Para encontrar A e C, igualamos a expressão geral
1 =A(t-1)(t+1)^2 + B(t+1)^2 + C(t+1)(t-1)^2 + D(t-1)^2
com os valores de B e D. Ao organizar e cancelar (t-1)(t+1), chega-se a
2A(t+1)+2C(t-1) = -1,
o que para todo t implica
A=-tfrac14, C=+tfrac14

Passo 4

Logo a integral original se escreve como soma de termos simples:
integral dt(t^2-1)^2 =integrall( -tfrac141t-1 +tfrac141(t-1)^2 +tfrac141t+1 +tfrac141(t+1)^2 r)dt

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral -tfrac14dtt-1=-tfrac14ln|t-1|, integral tfrac14dt(t-1)^2=-14(t-1),
integral tfrac14dtt+1=tfrac14ln|t+1|, integral tfrac14dt(t+1)^2=-14(t+1)
Reagrupando e simplificando, obtemos
14lnl|t+1t-1r| -t2,(t^2-1) + C

Resposta

boxed integral dt(t^2-1)^2 =14lnl|t+1t-1r| -t2,(t^2-1) + C

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