Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty (1+1n)^2 ne^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty an, onde an = l(1+1nr)^2ne^n,
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o estudo de séries de termos positivos e o uso do Critério da raiz (ou Critério de Cauchy) para testar convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o Critério da raiz, que diz que se
L = limntoinfty raiz[n]an
existe e é
  • L<1, então a série converge absolutamente,
  • L>1, então a série diverge,
  • L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos raiz[n]an:
raiz[n]an =raiz[n]l(1+tfrac1nr)^2ne^n =l(1+tfrac1nr)^2ncdot1ne^ncdot1n =l(1+tfrac1nr)^2e

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty l(1+tfrac1nr)^2e =1^2e =1e
Como tfrac1e<1, o Critério da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty l(1+tfrac1nr)^2ne^n é absolutamente convergente.

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