Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o estudo de séries de termos positivos e o uso do Critério da raiz (ou Critério de Cauchy) para testar convergência absoluta.
O conteúdo principal aqui é o estudo de séries de termos positivos e o uso do Critério da raiz (ou Critério de Cauchy) para testar convergência absoluta.
Passo 2
Aplicamos o Critério da raiz, que diz que se
existe e é
-
, então a série converge absolutamente, -
, então a série diverge, -
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calculemos
:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Como
, o Critério da raiz garante que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.